به مناسبت تولد عمو آلبرت، با کمی تاخیر

 بهداد اسفهبد
 دانشجوی علومِ کامپیوترِ دانشگاهِ تورنتو

E=mc^۲. E=mc^۲? E=mc^۲!‎

قضیه: بدیهی است که E=mc^۲.
اثبات:ابتدا ثابت می‌کنیم E=mc^۲: برای مثال فرض کنید E<>mc^۲، در این صورت شاید E=mc^۳، یا E=mc^۴، یا به طور کلی بدون کاهش از تمامیت مساله E=mc^n.  حال به استقرا ثابت می‌نماییم که E<>mc^n، مگر و فقط مگر n=۲.

پایه‌ی استقرا، n=۳: اگر E=mc^۳ آن‌گاه به جای هیروشیما، کل کره‌ی خاکی ذوب ‌شده بود.  چون نشد، پس n<>۳، و در نتیجه E<>mc^۳.
مرحله‌ی استقرایی، n>۳: با توجه به فرض استقرا می‌دانیم n<>۴، n<>۴، ...، و n<>n-۱.  در نتیجه n<=۲ یا n=n.

به خواننده وامی‌گذاریم تا با تکنیک بالا (۶ آگوست ۱۹۴۵)  ثابت کند که n<>n، به عبارتی فقط می‌ماند n<=۲.

حال نشان می‌دهیم n<>۱ , n<>۰:
چون در دنیایی به حداقل سه بعد زندگی می‌کنیم، و امواج انرژی در هر سه بعد منتشر می‌شوند، پس هر موج به صورت یک رویه‌ی دو بعدی است (که در ابتدا به شکل یک رویه‌ی کروی ست).  پس n=۲. توجه کنید که در یک دنیای دوبعدی امواج انرژی به شکل دوایر متحدالمرکز منتشر می‌شوند که شکلی تک‌بعدی است و در آن‌جا n=۱ [ر.ک. FlatLand]. اگر برایتان سوال است که بعد امواج انرژی چه دخلی به c^n دارد، این هم واضح است،  چون امواج الکترومغناطیس با سرعت c منتشر می‌شوند، پس یک رویه‌ی n بعدیی از آن‌ها با سرعت n بعدی c^n منتشر می‌شود.

حال می‌رسیم به قسمت m در E=mc^۲، که یعنی چرا برای مثال نیست E=xc^۲، یا E=yc^۲، یا حتی E=zc^۲، و تا آخر .... این هم واضح است: چون x و yو z و ... همگی وابسته به دستگاه مختصات ما می‌باشند، و با تغییر مبدا و دستگاه تغییر می‌کنند.  این در حالی‌ست که ماده مستقل از محورهای مختصات است و تنها مشخصه‌ای که مستقل از محیط اطراف در تصاحب خود دارد جرم یا همان m می‌باشد.  پس وجود m هم قطعی می‌نماید. حال می‌توان به طریقی مشابه فوق نشان داد که توان m باید و فقط باید ۱ باشد.  اما من این جا از روش دیگری استفاده می‌کنم که نیاز به معلومات بیش‌تری دارد.

اگر قرار بود جسمی به جرم ۲m، انرژی‌ای بیش از ۲ برابر انرژی جسمی به جرم m داشته باشد، آن‌زمان نامش نمی‌شد ۲m، برای مثال می‌شد ‎.۴m^۲ به عبارتی جرم خطی‌ست، یعنی اگر از دید اینرسی بررسی کنیم، هر جسمی به همان نسبت ناز دارد که انرژی در توان دارد (یاد بگیرند).

تنها عاملی که برای اثبات می‌ماند ضریب ثابت معادله است. ضریب ثابت معمولا عدد کوچکی‌ست که رسم است با c نشان دهند، ولی در این معادله که c نماینده‌ی ثابت بسیار مهم‌تر و بزرگ‌تری‌ست (‎~۳*۱۰^۸)، از ضرایب کوچک صرف‌نظر می‌کنند. برای مثال در معادلات ساده‌تر انرژی مانند E=۱/۲mv^۲ یا E=۱/۲cv^۲ یا E=۱/۲kx^۲ از این ثوابت (c=۱/۲) صرف‌نظر نمی‌کنند.

اثبات تمام است.